高数错题

设 $f(x)=\frac{e^{x^2}\cos x}{\sqrt{1+x^2}}$ ，$g(0)=f^{\prime }(0)$，且 $g^{\prime }(0)$ 存在，则函数 $\phi (x)=\frac{g(x)}{x}$ 在 $x=0$ 处是什么间断点

使用泰勒展开把 $f(x)$ 化简，$e^{x^2}=1+x^2+o(x^2)$，$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$，$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$

那么 $f(x)=\frac{1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}{1+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}$

由于 $\frac{1+a}{1+a}=1+o(a)$ #trick

因此 $f(x)=1+o(x^2)$，$f(x)-f(0)=o(x^2)$，然后就可以求出 $f^{\prime }(0)$

所以 $g(0)=0$，那么可以把 $\phi (0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=g^{\prime }(0)$

题目中给出 $g^{\prime }(0)$ 存在，且 $\phi (x)$ 在 $0$ 处没有定义，所以就是可去间断点

设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(e^x+|x|)$，若 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则必有（ ）
A. $f(0)=0$ B. $f^{\prime }(0)=0$ C. $f(0)+f^{\prime }(0)=0$ D. $f(0)-f^{\prime }(0)=0$

条件 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，想到左右导数相等

$F(0)=f(0)(e^0+|0|)=f(0)$

右导数

左导数

由于左导数 = 右导数，推出 $f(0)=0$

设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$，则（ ）
(A) 当 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$ 存在时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
(B) 当 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{|x|}}=0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
(C) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{1-\cos x}}}$ 存在。
(D) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{1-\cos x}}}$ 存在时，$f^{\prime }(0)=0$。

A. $f(0)$ 可能不存在，不满足

B. $f(x)=|x|$

C.

$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导可以翻译成 $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+o(x)=f^{\prime }(0)x+o(x)$

所以

其中 $\frac{o(x)}{|x|}\to 0$ ，决定极限是否存在的是 $\frac{x}{|x|}$ 只有当 $f^{\prime }(0)=0$ 的时候这个极限才存在，C 选项错误

D.

通过 C 的分析可以得出，$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{1-\cos x}}}$ 存在说明 $f^{\prime }(0)=0$