Martian148

【算法题解】AND-array

Fri, 03 Jul 2026 23:33:00 GMT

Question

对于一个长度为 $n$ 的序列 $a$，我们定义其 AND 数组 $f(a)$ 如下：

$$ f(a)k = \sum\limits{1 \le i_1 \lt i_2 \lt \ldots \lt i_k \le n} a_{i_1} & a_{i_2} & \ldots & a_{i_k} $$

换句话说，$f(a)_k$ 是对序列 $a$ 中所有长度为 $k$ 的子序列的元素按位与的和。

序列 $a$ 对你而言是未知的。但你被提供了一个长度为 $n$ 的序列 $b$，满足对所有 $1 \le i \le n$，都有 $b_i \equiv f(a)_i \pmod{10^9 + 7}$。你的任务是基于给定的序列 $b$ 还原序列 $a$。

$$ 1\le n\le 10^5, 0\le b_i\le 10^9+7,0\le a_i<2^{29} $$

Solution

我们设二进制的第 $p$ 位在数组 $a$ 中出现了 $c_p$ 次，那么对于一个长度为 $k$ 的子序列，它的 AND 在第 $p$ 位为 $1$ 的选法有

$$ \binom{c_p}{k} $$

种，所以第 $p$ 位对 $f(a)_k$ 的贡献就是

$$ 2^{p} \cdot\binom{c_{p}}{k} $$

于是

$$ b_{k} \equiv f(a){k} \equiv \sum{p=0}^{28} 2^{p}\binom{c_{p}}{k} \quad\left(\bmod 10^{9}+7\right) $$

这就是整题的本质。

现在我们要把每个 $c_p$ 求出来

倒着枚举 $k = n, n-1, \ldots, 1$。

因为：

如果 $c_p < k$，那么 $\binom{c_p}{k} = 0$
如果 $c_p = k$，那么 $\binom{c_p}{k} = 1$
如果 $c_p > k$，那么它的贡献可以用之前已经知道的 $c_p$ 算出来

所以对当前 $k$，先把所有 $c_p > k$ 的贡献减掉：

$$ x_k = b_k - \sum_{c_p > k} 2^p \binom{c_p}{k} \quad (\bmod\ MOD) $$

那么剩下的就是：

$$ x_k = \sum_{c_p = k} 2^p $$

于是我们看 $x_k$ 的哪一位为 $1$ 就代表这一位对应的 $c_p=k$

现在我们得到了 $c_p$ 要构造数组，暴力能放就放就好了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e5 + 5;
ll Fac[MAXN], InvFac[MAXN];

ll pow(ll a, ll b) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void init() {
    Fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++) Fac[i] = Fac[i - 1] * i % MOD;
    InvFac[MAXN - 1] = pow(Fac[MAXN - 1], MOD - 2);
    for (int i = MAXN - 2; i >= 0; i--) InvFac[i] = InvFac[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

ll C(int n, int m) {
    if (m > n || m < 0) return 0;
    return Fac[n] * InvFac[m] % MOD * InvFac[n - m] % MOD;
}

void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<ll> b(n + 1);
    vector<ll> cnt(29, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    for (int k = n; k >= 1; k--) {
        ll val = b[k];
        for (int j = 0; j < 29; j++) {
            val -= (1LL << j) * C(cnt[j], k) % MOD;
            val = (val % MOD + MOD) % MOD;
        }

        for (int j = 0; j < 29; j++) 
            if (val >> j & 1) {
                cnt[j] = k;
            }
    }

    vector<ll> a(n + 1);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = 0; j < 29; j++) {
            if (cnt[j] > 0) a[i] += 1LL << j, cnt[j]--;
        }
    }
    

    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " \n"[i == n];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
    init();
    int t; cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

如何发布一篇博客

Fri, 03 Jul 2026 20:30:00 GMT

写在前面

这个网站的博客文章放在 src/content/blog/ 目录下。每一篇文章本质上都是一个 Markdown 文件，写好内容之后，网站会自动把它渲染成博客页面。

如果文章不需要图片，只创建一个 .md 文件就可以；如果文章需要配图或其他资源，可以创建一个同名文件夹，把文章写在里面的 index.md 中。

创建文章

最简单的方式是在 src/content/blog/ 下面新建一个 Markdown 文件，例如：

src/content/blog/my-new-blog.md

文件名会影响文章链接。比如这个文件最终会生成类似这样的路径：

/blog/my-new-blog

如果你希望链接更清晰，可以用英文短横线命名，例如：

how-to-learn-llm.md
reading-notes-transformer.md
my-first-project.md

编写 Frontmatter

每篇博客开头都需要写一段配置，叫做 Frontmatter。它用来描述文章标题、发布时间、摘要、标签等信息。

一个基本模板如下：

---
title: 我的新博客
publishDate: 2026-07-03 20:00:00
description: '这是一篇文章摘要，会出现在博客列表或搜索结果中。'
tags:
  - blog
  - life
language: '中文'
draft: false
comment: false
---

常用字段含义：

| 字段 | 作用 | | --- | --- | | title | 文章标题 | | publishDate | 发布时间 | | description | 文章简介 | | tags | 文章标签 | | language | 文章语言 | | draft | 是否为草稿 | | comment | 是否开启评论 |

如果 draft: true，这篇文章通常不会作为正式文章发布。写完准备公开时，把它改成：

draft: false

如果暂时不想开启评论，可以写：

comment: false

编写正文

Frontmatter 下面就是正文。正文使用 Markdown 语法，例如：

## 第一节标题

这里写正文内容。

### 小标题

- 列表项一
- 列表项二

```ts
console.log('Hello, blog!')
```

写博客时可以先把内容分成几个部分：

这篇文章想解决什么问题
背景是什么
具体过程是什么
自己有什么理解或总结
以后还想继续探索什么

这样文章会更清楚，也更容易坚持写下去。

预览文章

本地启动开发服务：

bun dev

然后打开：

http://localhost:4321/blog

如果文章已经显示在博客列表中，说明它被网站识别到了。点击文章标题，就可以进入详情页预览排版。

如果没有显示，可以检查：

文件是否放在 src/content/blog/ 下
Frontmatter 有没有语法错误
draft 是否被设置成了 true
文件扩展名是不是 .md 或 .mdx

发布到线上

本地确认没有问题后，先运行一次构建：

bun run build

如果构建通过，就可以提交代码：

git add .
git commit -m "Add new blog post"
git push

推送到 GitHub 后，Vercel 会自动重新部署网站。部署完成后，线上博客页面就会出现这篇新文章。

一个建议

刚开始写博客时，不必追求每篇都很完整。可以先把博客当作自己的学习记录：今天学到了什么，遇到了什么问题，最后怎么解决的。

长期来看，这些零散记录会慢慢连成一条线。它会记录你如何理解技术，也会记录你如何理解自己。

我的第一篇博客

Fri, 03 Jul 2026 20:00:00 GMT

开始

这是我的第一篇博客。

测试博客

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