Best Subsequence

Question

给出一个数组 $\{a\}$，选择一个子序列，使得子序列的数的数量 - 所有数的或最小

Solution

这是一个最大权闭合图的典题，后面去学了一下

我们把每个数看成一个节点，把每个 bit 看成一个节点

• 起点向每个数建立一条边权为 $1$ 的边
• 如果数 $x$ 的第 $i$ 为为 $1$，则 $x$ 向第 $i$ 个 bit 建立一条边权为 $INF$ 的边
• 每个 bit 向终点建立一条边权为 $1$ 的边

则答案就是 $n-$ 最大流

如何理解：

• 显然不能切边权为 $INF$ 的边
• 如果切了起点向每个数的边，那么说明不选取这个数
• 如果切了每个 bit 向终点的边，说明这个 bit 选，也就是说，和这个 bit 连边的数可选可不选

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;

using ll = long long;

struct Dinic {
    struct Edge {
        int from, to, cap, flow;
    };
    int n, m, s, t;
    vector<Edge> edges;
    vector<vector<int>> g;
    vector<int> d, cur; // d 为层次，cur 为当前弧优化

    void init (int n_) {
        n = n_; edges.clear();
        d.assign(n, 0);
        g.assign(n, vector<int>());
    }

    void add_e (int from, int to, int cap) {
        // cout << from << ' ' << to << ' ' << cap << '\n';
        edges.push_back(Edge{from, to, cap, 0});
        edges.push_back(Edge{to, from, 0, 0});
        m = edges.size();
        g[from].push_back(m - 2);
        g[to].push_back(m - 1);
    }

    bool bfs () {
        vector<int> vis (n, 0);
        queue<int> q; q.push(s); d[s] = 0; vis[s] = 1;
        while (!q.empty()) {
            int x = q.front(); q.pop();
            for (auto i : g[x]) {
                Edge &e = edges[i];
                if (vis[e.to] == 0 && e.cap > e.flow) {
                    vis[e.to] = 1;
                    d[e.to] = d[x] + 1;
                    q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t]; // 是否存在能到达汇点的路径
    }

    int dfs (int x, int a) { // a 表示从源点到 x 的可改进量
        if (x == t || a == 0) return a;
        int flow = 0, f;
        for (int &i = cur[x]; i < g[x].size(); i++) { // 当前弧优化，在 cur[x] 之前都没有增广成功
            Edge &e = edges[g[x][i]];
            if (d[x] + 1 == d[e.to] && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {
                e.flow += f;
                edges[g[x][i] ^ 1].flow -= f;
                flow += f;
                a -= f;
                if (a == 0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int max_flow (int s, int t) {
        this->s = s; this->t = t;
        int flow = 0;
        while (bfs()) {
            cur.assign(n, 0);
            flow += dfs(s, INF);
        }
        return flow;
    }
};


void solve() {
    int n; cin >> n;
    vector<ll> a(n + 1);
    ll M = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], M |= a[i];
    int cnt = __builtin_popcountll(M); // 1 的个数

    Dinic ek; ek.init(n + 60 + 3);
    int S = 0, T = n + 60 + 1, S_ = n + 60 + 2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < 60; j++) if (a[i] >> j & 1) {
            ek.add_e(j + 1, i + 60, 1);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        ek.add_e(i + 60, T, 1);
    
    for (int i = 1; i <= 60; i++)
        ek.add_e(S, i, 1);

    int ans = n - ek.max_flow(S, T);
    cout << ans << '\n';
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);

    int T; std::cin >> T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}